Quadratische Ergänzung

Man hört es sehr oft, dass sich viele Schüler (8. Klasse) mit der Quadratischen Ergänzung sehr schwer tun.

Deshalb habe ich das Thema mal aufgreifen und möchte allen ein Backrezept in die Hand geben, womit jeder die Quadratische Ergänzung ohne Probleme anwenden kann.


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In diesem Zusammenhang spielen verschiedene Begrifflichkeiten hier eine Rolle:

–       Quadratische Gleichungen
–       Binomische Formeln
–       Wurzeln
–       p,q-Formel
–       Diskriminante

 Gegeben:  Eine quadratische Gleichung der allgemeinen Form           

 

 

f ( x ) = x 2 + p x + q

 

0 = x 2 + p x + q

Beispiel

f ( x ) = x 2 2 x 3

(1)

 

0 = x 2 2 x 3

(2)

 

p = -2 , q = -3

Ziel (allg. Lösung)

( x + p 2 ) 2 ( p 2 ) 2 + q = 0

(3)

Einsetzen

( x + 2 2 ) 2 ( 2 2 ) 2 3 = 0

(4)

 

( x 1 ) 2 4= 0

(5)

 

Sinn und Zweck der ganzen Ergänzung ist es, für (2) eine Lösung zu finden. D.h. für welche x-Werte ist die Gleichung lösbar.

Durch die Ergänzung ist es nun möglich, nach x aufzulösen. Die Rechnung geht nun weiter:

 

 

( x 1 ) 2 = 4

/

 

x 1 = ± 2

/

+

(6)

 

x = 3

Erste Lsg.

 

x = 1

Zweite Lsg.

L={-1, 3}

 

Probe: Setzen Sie jetzt die Ergebnisse x=3 und x=-1 nacheinander in (2) ein. Es sollte jeweils immer Null rauskommen.

 

Bemerkung

Eine Quadratische Ergänzung zu erstellen ist im Grunde gar nicht so schwierig. Ziel ist die allgemeine Form (3). Wenn Sie sich die einmal gemerkt haben, dann ist der Rest einfach nur noch nach x umformen. Vergessen darf man dabei nicht, dass das Quadrat zwei Lösungen hat – deshalb plus/minus in (6).

Sicherlich fällt einigen auf, dass es doch die p,q-Formel gibt. Eigentlich nur eine andere Bezeichnung dafür:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Gruß
Ersin Söbütay

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